群性质与结构

群的定义

对于集合 $G$ 和一个定义在 $G$ 中元素之间的运算，满足群的四个基本要求：

集合 $G$ 一般指抽象的元素操作，在矩阵表示中群元素一般是算符（或称为函数），所以群运算的关系实际是算符和算符之间的运算关系，但是物理所得出的结果依赖于表象表示。同时也应指出群的封闭性：

它是指：算符乘积的封闭（ $Operator \times Operator \in Operator$ ）
它不是指：算符作用结果的封闭（ $Operator \times Vector \in Vector$ ）但是任何有物理意义的群应用，必须同时满足这两者。
重排定理：对 $\forall a,b\in G$ ，仍然有 $a\cdot b\in G$ ，且对于同一 $a$ ，所有 $a\cdot b$ 不会给出重复的 $G$ 群元
群内元素的个数称为群的阶数

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子集，若H仍然满足群定义的四要素，则称为子群。

对于 $\forall G$ 有平庸子群 $\{e\}$ ，非平庸子群称为固有子群。
对于 $\forall a\in G$ ，从 $a$ 出发开始幂次操作，总是可以构成 $G$ 的一个循环子群 $Z_k$ ，有
$\{a,a^2 \cdots,a^{k-1},a^k=e\}$
，则 $k$ 为群元 $a$ 的阶。
如果一个无限群 $G$ 中每一个元素生成的循环子群都是有限群，则 $G$ 称之为扭群，如果除了单位元，每个元素生成的循环子群都是无限群，则G称之为无扭群。

对群G的一个子群H，有群元 $g\in G$ ， $gH=\{gh|h\in H\}$ 称为群 $H$ 的左陪集，同理可定义群的右陪集。

陪集定理：一个子群的左陪集或右陪集要么完全相同要么没有公共元素，不过左右陪集之间是可以部分相同的。证明：若 $\exists x=ah_1=bh_2$ ，其中 $h_1,h_2$ 是子群 $H$ 的任意群元，则有 $a=bh_2h_1^{-1}=bh_3$ ，右乘 $H$ 有 $aH=bh_3H$ ,按照重排定理 $h_3H$ 依然等于 $H$ ，只是其中群元的顺序变了，即 $aH=bH$ ，也就是说只要有陪集有公共元素，就完全相同。
若 $gH=Hg$ ，则称该子群 $H$ 为正规子群.
拉格朗日定理：有限群子群的阶，必为群阶的因子。证明：子群 $H$ 可以视作单位元 $e$ 生成的陪集，则按照陪集定理可推出
$\begin{aligned}&g\in H,gH=eH(H)\\&g\notin H,gH= M\end{aligned}$
，M和H中的元素完全不同，甚至M不一定是群，但是两者内部基数（元素的个数）是一致的，通过不断的取陪集之外的群元来生成新的陪集，这些陪集的数 $m$ 相等，最终用完所有群元后，会有 $n$ 个完全不同的陪集，则 $n*m$ 必须为大群 $G$ 的阶数，即该陪集或子群H的阶数必须为G的因子。
无限群的有限子群的陪集必有无穷多个。

共轭：群 $G$ 中的两个群元 $f,h$ ，如果 $G$ 中存在群元 $g$ ，使 $gfg^{-1}=h$ ，则称 $f,h$ 共轭，共轭是相互的，可传递的。
类：群G中所有相互共轭的元素形成的集合称为群的一个类。

参考

李新征《群论一讲义》