群性质与结构

群的定义

对于集合和一个定义在中元素之间的运算，满足群的四个基本要求：

集合一般指抽象的元素操作，在矩阵表示中群元素一般是算符（或称为函数），所以群运算的关系实际是算符和算符之间的运算关系，但是物理所得出的结果依赖于表象表示。同时也应指出群的封闭性：

重排定理：对，仍然有，且对于同一，所有不会给出重复的群元。

设是群的一个子集，若H仍然满足群定义的四要素，则称为子群。

对群G的一个子群H，有群元，称为群的左陪集，同理可定义群的右陪集。

陪集定理：一个子群的左陪集或右陪集要么完全相同要么没有公共元素，不过左右陪集之间是可以部分相同的。证明：若，其中是子群的任意群元，则有，右乘有,按照重排定理依然等于，只是其中群元的顺序变了，即，也就是说只要有陪集有公共元素，就完全相同。

拉格朗日定理：有限群子群的阶，必为群阶的因子。证明：子群可以视作单位元生成的陪集，则按照陪集定理可推出

，M和H中的元素完全不同，甚至M不一定是群，但是两者内部基数（元素的个数）是一致的，通过不断的取陪集之外的群元来生成新的陪集，这些陪集的数相等，最终用完所有群元后，会有个完全不同的陪集，则必须为大群的阶数，即该陪集或子群H的阶数必须为G的因子。

共轭：群中的两个群元，如果中存在群元，使，则称共轭，共轭是相互的，可传递的。类：群中所有相互共轭的元素形成的集合称为群的一个类。

有限群的每个类的元素的个数都是群阶的因子 共轭子群:和是群的两个子群，若，使得，则称和是共轭子群
对于，若其子群满足，是自共轭的，则称该子群为不变子群（正规子群）。不变子群的左陪集和右陪集是相同的，。
对的任一子群，其两个不同陪集 $、$ 中元素的乘积，必为第三个陪集中的元素。若子群H为不变子群，则两者的乘积必为陪集中的元素。商群：对群G的不变子群H，按照陪集定理，可以用H的陪集将G将分为不同的陪集块 $、、、、$ ，其陪集块中元素的乘积，也即，这样可以在陪集块之间定义一种乘法，其乘法规则满足上式的元素乘积，显然定义了乘法规则的陪集块集合满足群的条件，对于这样定义的群称为商群。

同态：群到上，有满射，且对 $，$ ，称群与同态。同构：群到上，有双射，且对 $，$ ，称群与同构。 同态核定理：若G与F同态，满足同态映射M，则有：

📚参考文献