量子标量场

简谐振子的正则量子化

• 湮灭算符

$$a=\frac{1}{\sqrt{2m\omega}}(m\omega x+ip)$$

• 产生算符

$$a\dagger=\frac{1}{\sqrt{2m\omega}}(m\omega x-ip)$$

正则对易关系：

$$[a,a\dagger]=1$$

粒子数算符$N=aa\dagger$是厄米算符，设$|n\rangle$是$N$的本征态满足归一化条件和本征方程：

$$N|n\rangle=n|n\rangle$$

对于产生湮灭算符有：

$$a\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$$ $$a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$$

可以用$a\dagger$和$|0\rangle$ 将本征态$|n\rangle$表示为：

$$|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a\dagger)^n|0\rangle$$

量子场论的正则对易关系

将整个空间离散化，划分成无穷多个小体积元$V_i\to 0$，定义相应的广义坐标：

$$\Phi_i(t)=\frac{1}{V_i}\int_{V_i}d^3x\Phi(x,t)$$

体积元中的广义动量为：

$$\Pi_i(t)=\frac{\partial L}{\partial(\partial_0\Phi_i)}=V_i\frac{\partial L_i}{\partial(\partial_0\Phi_i)}$$

引入

$$\pi_i(t)=\frac{\partial L_i}{\partial(\partial_0\Phi_i)}=\frac{\Pi_i}{V_i}$$

依据正则变量的等时对易关系有：

$$[\Phi_i(t),\pi_j(t)]=i\frac{\delta_{ij}}{V_j}$$

在连续极限$V_j\to 0$下

$$\Phi_i(t)\to\Phi(x,t),\pi_i(t)\to\pi(y,t),\frac{\delta_{ij}}{V_j}\to\delta^{(3)}(x-y)$$

则若干个相互独立的场的等时对易关系为

$$[\Phi_a(x,t),\pi_b(y,t)]=i\delta_{ab}\delta^{(3)}(x-y)$$

实标量场的正则量子化

不参与相互作用的自由实标量场$\phi(x)$，相应的洛伦兹不变量是

$$L=\frac{1}{2}(\partial^\mu\phi)\partial_\mu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2$$

欧拉-拉格朗日方程给出

$$0=\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)}-\frac{\partial L}{\partial\phi}=\partial_\mu\partial^\mu\phi+m^2\phi$$

即$\phi(x)$满足克莱因-高登方程

$$(\partial^2+m^2)\phi(x)=0$$