张量

张量

张量是定义在向量空间的多重线性映射。对于一个阶为$\left\{f\atop v\right\}$的张量$T^{a_1a_2...a_f}_{b_1b_2...b_v}$，$a,b$为其向量空间和对偶空间的线性映射，它可以接收$f$个对偶矢量（数学中称为1-形式）和$v$个矢量从而缩并到一个（实？）数上。

$$T : \underbrace{V^* \times \dots \times V^*}_{f} \times \underbrace{V \times \dots \times V}_{v} \to \mathbb{R}$$

• 张量定义的向量空间是平直的，例如欧氏空间，对于局部弯曲流形可以定义在它的切空间上，例如闵可夫斯基空间。
• 内积空间可以定义一个度规，度规是一个二阶对称张量，不同的坐标系和不同的空间都会导致有不同的度规。
• 向量空间中坐标系变换，等同于矢量的逆变换，所以于基矢变换一致对偶矢量$b$称为协变矢量，而其矢量$a$称为逆变矢量。
• 仿射空间没有定义向量的内积，所以没有度规，无法将协变和逆变矢量通过度规转换。

Lorentz张量

四维Minkowski时空度规为

$$g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}+1&&&\\&-1&&\\&&-1&\\&&&-1\end{pmatrix}$$

Lorentz变换为

$$\Lambda^{\mu}_{\nu}=\begin{pmatrix}\gamma&-\gamma\beta&&\\-\gamma\beta&\gamma&&\\&&1&\\&&&1\end{pmatrix}$$

Lorentz变换$\Lambda^{\mu}_{\nu}$满足保度规条件

$$g_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\alpha}\Lambda^{\nu}_{\beta}=g_{\alpha\beta}$$

Lorentz张量满足固有保时向Lorentz变换规则

$$T^{'\mu_1\mu_2...\mu_p}_{\nu_1\nu_2...\nu_q}=\Lambda^{\mu_1}_{\rho_1}\cdots\Lambda^{\mu_p}_{\rho_p}T^{\rho_1\rho_2...\rho_p}_{\sigma_1\sigma_2...\sigma_q}\Lambda^{\sigma_1}_{\nu_1}\cdots\Lambda^{\sigma_q}_{\nu_q}$$

• 四维电流密度$J^\mu=(\rho,\mathbf{J})$连续性方程Lorentz协变形式为

$$\partial_\mu J^\mu=0$$

• 四维矢势$A^\mu=(\Phi,\mathbf{A})$,引入电磁场场强张量 $$F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\nu$$ ，是一个二阶反对称张量
• Maxwell方程

$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu$$

Poincare变换

Lorentz变换是线性齐次的，只描述参考系时空原点重合的变换，Poincare变换是非齐次的Lorentz变换，表示为

$$x^{'\mu}=\Lambda^\mu_\nu x^\nu+a^\mu$$