密度矩阵

纯态与混态

量子理论假定孤立的微观力学系统每一时刻处于确定的量子状态上，这个量子态可以使用希尔伯特空间的一个态矢（可以是叠加态）完整的描述，即这个孤立系统全部可观测的运动特征或物理性质完全由这个态矢确定，这一类能够用单个态矢或概率幅完备描述的状态就称为纯态。

由于微观系统往往包含海量的粒子，或者在实验中我们需要对大量同类系统进行重复测量才能得到统计规律，单纯研究单个粒子的特定运动变得困难且无意义，我们希望这些粒子的体系最好有相同的外界条件，并且体系之间最好独立，所以我们可以引入系综或量子系综这一理论概念来满足这一要求。

系综定义是无数个处于相同宏观条件下的独立系统的集合。如果系综的粒子系统都处于相同的纯态上，则这些系统的统计状态集合称为完全纯态系综或纯粹系综。 但是更经常的情况是集合中的系统处于各种不同的、不一定相互正交的纯态上，而这些系统的统计状态集合称为混合系综。

将混合系综中的纯态分布归一化，即若干纯态按照一定概率分布非相干混合为态矢集合（不能写成希尔伯特空间的一个态矢），这个态矢集合的统计状态称之为混态。

::: important 系综中的系统是否可以由混态构成 虽然我们在操作上可以将多个混合系综再次混合（即“混态的混合”），但在数学上，由于混合态本身就是纯态的统计分布，这种混合最终依然等价于一个由纯态构成的混合系综。因此，理论上我们将纯态视为构成系综的基本单元。一个孤立系统在客观上，实际上总是处于某个具体的纯态（或者是更大系统纯态的一部分），“混态”不是系统原本的物理属性，而是我们描述它的一种数学方式 ::: ::: important 粒子间的相互干扰会导致纯态系综退相干为混合系综吗

• 宏观视角（针对整个孤立系统）：不会 根据量子力学基本原理，孤立系统的演化遵循薛定谔方程，这是一个幺正演化。幺正演化能够保持信息的守恒。如果你一开始是纯态（熵为0），无论粒子间如何剧烈地相互干扰，经过任意时间 $t$ 后，整个系统的大波函数 $|\Psi(t)\rangle$ 依然是一个纯态。它不会变成混合系综。
• 微观/局部视角（针对系统中的某个粒子）：会 粒子间的相互干扰（相互作用势 $v_{ij}$）会导致粒子之间产生量子纠缠，一旦发生纠缠，整个系统的波函数就不能写成单个粒子波函数的直积形式：$|\Psi\rangle \neq |\phi_1\rangle \otimes |\phi_2\rangle$。在数学上，纠缠态的子系统必然是混态。 对于子系统而言，它原本的纯态性质因为与环境（其他粒子）的纠缠而“丢失”了相干性。 :::

密度矩阵

密度算符定义为对应量子系综所含纯态的投影算符的权重和，密度算符在任意表象中的密度矩阵为厄米矩阵。 一般而言系综中的这些纯态不一定相互正交，但是由于密度算符的厄米性，总可以将密度矩阵对角化为其本征形式

$$\rho=\sum_i |\phi_i\rangle P_i\langle \phi_i|, \sum_i P_i=1, \langle \phi_i|\phi_i\rangle=0$$

参考

• 张永德 《高等量子力学》
• 杨展如 《量子统计物理》